Logaritmos

Conheça um pouco mais sobre esse importante assunto da matemática.

Definição de logaritmos

Definição de logaritmos parte 01

Lê-se: Logaritmo de b na base a é igual a x

Definição de logaritmos parte 02

Condições de existência ou Domínio

Condições de existência de um logaritmo

Essas três condições são chamadas condições de existência

Conseqüências da definição

Diretamente da definição podem ser concluídas algumas conseqüências imediatas, são elas:
Conseqüências da definição de um logaritmo

Propriedades operatórias

Algumas propriedades importantes dos logaritmos:
Propriedades operatórias dos logaritmos

Mudança de Base

Podemos efetuar uma mudança na base do logaritmo da seguinte forma:
Mudança de Base dos logaritmos

Dica: logba . logab = 1
logbc . logab = logac

Cologaritmo

Definimos o cologaritmo da seguinte forma:
Cologaritmo

Equações Logarítmicas

logab = logac = ? b = c

Na resolução de equações logarítmicas, devemos observar:
1°) Condição de existência
  • o logaritmando deve ser positivo
  • a base deve ser positiva e diferente de 1
2°) Se os valores encontrados para a incógnita satisfazem a condição de existência

Função Logarítmica

Seja a ? IR tal que a > 0 e a ? 1. Denomina-se função logarítmica à` função f : IR*+ ? IR, dada por:
f (x) = loga x

1° caso: a > 1 ? função crescente
Função Logarítmica Crescente

2° caso: 0 < a < 1 ? função decrescente
Função Logarítmica Decrescente

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
  • D( f ) = IR*+ e Im( f ) = IR
  • Os gráficos interceptam o eixo Ox no ponto ( 1 , 0 )
  • Os gráficos não interceptam o eixo Oy

Inequação Logarítmica

Existem dois casos básicos de inequação logarítmica:
  • A base a em questão é tal que a > 1
  • Inequação Logarítmica caso 01
  • A base a em questão é tal que 0 < a < 1
  • Inequação Logarítmica caso 02

Sistema de Logaritmos Decimais

O logaritmo decimal de um nú´mero x, representado por log10 x ou simplesmente por log x é´ definido normalmente como qualquer outro logaritmo:
log x = c ? 10c = x

Observação: O logaritmo decimal de x é a soma do inteiro c com uma parte decimal m e vamos indicá-lo por:
log x = c + m (c ? IR e 0 = m = 1)

Em que:
Sistema de Logaritmos Decimais

Exemplo: log 200 = 2 + 0,3010 = 2,3010 (c = 2 e m = 0,3010)

Característica

É a parte inteira do logaritmo decimal

Cá´lculo da Característica de log x

Vamos considerar dois casos:

Primeiro caso: x > 1
A característica é igual ao número de algarismos da parte inteira de x , diminuído de uma unidade

Exemplos:
log 9 ? c = 1 - 1 = 0
log 45 ? c = 2 - 1 = 1
log 358,76 ? c = 3 - 1 = 2

Segundo caso: 0 < x < 1
A característica será´ a quantidade de zeros que existirem antes do primeiro algarismo não nulo, tomada negativamente

Exemplos:
log 0,5 ? c = -1
log 0,075 ? c = -2
log 0,00405 ? c = -3
log 0,00053 ? c = -4

Mantissa

É´ a parte decimal do logaritmo decimal de x, log x
É obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos

Função Logarítmica x Função Exponencial

Seja a função logarítmica f (x) = loga x
Sendo bijetora, essa função tem como inversa a função exponencial y = ax

 





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